Оставим пока размерности в покое и приготовимся к разговору о симметрии, для чего вспомним о простейших формах, с которых начинается евклидова геометрия: о линиях, плоскостях и пространствах. И о простейших физических задачах, возникающих при однородном распределении какой-либо физической величины — плотности, температуры, давления или скорости.

16

Введение о I

Однородное распределение вдоль линии, на плоскости или в про-транстве обладает двумя очень привлекательными свойствами. Оно ин-ариантно при смещении и при изменении масштаба. При переходе к зракталам обе инвариантности неизбежно подвергаются модификации [/или/ ограничению области их действия. Следовательно, наилучшими южно считать те фракталы, которые демонстрируют максимальную ин->ариантность.

В случае смещения различные участки траектории броуновского (вижения частицы не могут быть точно совмещены друг с другом, как, [апример, могут быть совмещены различные участки прямой линии. Тем [е менее, можно считать, что эти участки совместимы в статистическом мысле. Почти все фракталы, представленные в этой книге, в той или ной степени инвариантны при смещении.

Более того, большинство этих фракталов инвариантны при некото-1ых преобразованиях масштаба. Назовем их масштабно-инвариантны-ш фракталами. Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом [реобразовании подобия, называется самоподобным.

В составном термине масштабно-инвариантные фракталы при-[агательное служит для смягчения существительного. Основной терши фрактал подразумевает неупорядоченность и относится к струк-урам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение мас-итабно-инвариантный намекает на некоторый порядок. Если же под 1Сновным термином понимать масштабную инвариантность, предпо-[агающую строгий порядок, то фрактал сыграет роль модификатора, физванного исключить всякий намек на прямые и плоскости.

Не следует превратно понимать стремление допустить однород-гость и масштабную инвариантность. Как и в случае обыкновенной еометрии природы, все мы прекрасно осведомлены о том, что ни-[то в окружающем нас мире не является ни строго однородным, ни гасштабно-инвариантным. Обыкновенная геометрия рассматривает пря-1ые как предварительные модели. Так же и в механике понятие одно-юдного прямолинейного движения является лишь первым шагом.