В данном случае такая обобщенная процедура использована для выращивания «дерева». Начинаем со ствола с бесплодными стенками и плодоносной «почкой» на конце. Почка порождает две «ветви», в которых плодоносными являются опять только «почки» на концах. И так далее до бесконечности. Для того, чтобы дерево заполнило без пустот и самопересечений приблизительно прямоугольную область плоскости, рост его намеренно асимметричен. Однако асимптотических самокасаний мы избегать не стремились; и в самом деле, всякая точка, принадлежащая линии «коры», может быть получена как предел окончания какой-либо ветви.

«Поддеревья», построенные из двух первых ветвей, подобны целому дереву, но каждое со своим коэффициентом подобия (обозначим их через г\ и Г2). Все дерево самоподобным не является, так как наряду с поддеревьями оно включает в себя и ствол. С другой стороны, множество асимптотических концов ветвей самоподобно. Согласно пояснению к рис. 87 и 88, размерностью подобия называется размерность I), удовлетворяющая равенству г\°+Г2 = 1. В верхней фигуре на рис. 237 концы ветвей почти заполняют плоскость, и значение разности 2 — 1) мало; в нижней фигуре £> значительно меньше 2.

Кстати, при постоянном отношении диаметра к длине коразмерность 3 — 1) соответствующей пространственной структуры оказывается меньше, чем коразмерность 2 — I) ее плоского варианта.

Рис. 236. Эта сложная фигура представляет собой результат ко-хова построения дерева, в котором на каждом этапе генератор изменяется так, чтобы отношение толщины к длине постепенно уменьшалось до 0. В левой части рисунка это отношение уменьшается быстрее, чем в правой. Как следствие, множество концов ветвей перестает быть самоподобным, однако все же достигает размерности I) = 2. Вот вам еще один способ достижения цели, поставленной в главе 15.

17 о Деревья и диаметрический показатель 237

VI о САМООТОБРАЖАЮЩИЕСЯ ФРАКТАЛЫ

18 о САМОИНВЕРСНЫЕ ФРАКТАЛЫ, АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ И МЫЛО

Большая часть настоящего эссе посвящена фракталам, которые либо полностью инвариантны при преобразованиях подобия, либо, по меньшей мере, «почти» инвариантны. В результате у читателя может сложиться впечатление, что понятие фрактала неразрывно связано с самоподобием. Это решительно не так, однако поскольку мы только начинаем знакомиться с фрактальной геометрией, мы должны прежде всего рассмотреть своего рода фрактальные аналоги прямых линий евклидовой геометрии... мы можем называть их «линейными фракталами».