Случай, подобный последнему (в), может произойти и с кривыми Коха. Для этого достаточно изменять генератор на каждом этапе по-

15 о Поверхности положительного объема. Живая плоть

213

строения и позволить его размерности I? устремиться к 2. Возьмем, например, г к = к/2 и присвоим (а значит и максимальное значение, о котором мы говорили в пояснении к рис. 83. Предельная кривая в этом случае обладает весьма примечательным сочетанием свойств: ее фрактальная размерность £> = 2 нестандартна для кривой, однако ее топологическая размерность {Е>т = 1) и площадь, которая обращается в нуль, являются стандартными.

Та же комбинация свойств характерна и для броуновского движения (см. главу 25), только здесь она достигается при избежании двойных точек.

Формальная размерность может дрейфовать не только в сторону значения I? = 2, но и прочь от него. Например, к этапов построения заполняющего плоскость дерева могут завершиться этапами с размерностью И < 2. Результат такого построения бывает полезен при моделировании определенных речных бассейнов, которые в масштабах, превышающих внутренний порог г/, выглядят как заполняющие плоскость, но в областях меньшего масштаба орошают почву не столь эффективно. Значение ц очень велико в пустынях и очень мало (вплоть до 0) во влажных джунглях. Эффективная размерность таких рек составит I? = 2 для масштабов, больших г/, и I? < 2 для масштабов, меньших ц. ►

КРИВЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПЛОЩАДИ

Так как наше интуитивное представление о пылевидных множествах весьма несовершенно, нас мало беспокоит пыль положительной длины или объема. А вот кривую, площадь которой отлична от нуля, проглотить уже значительно сложнее. Поэтому после того, как Лебег [294] и Осгуд [458] убедили всех в том, что глотать все равно придется, эти кривые сменили кривую Пеано на посту самого чудовищного чудовища. После описания соответствующего примера я покажу, что действительность не так страшна, как идея: поверхности положительного объема оказываются в самом буквальном смысле близки сердцу любого человека.

А идея заключается в обобщении построения со срединным смещением, приведенного на рис. 71. Мы оставляем неизменными бухты и полуострова, каждый из которых представляет собой треугольник, вдающийся в треугольник болота, причем середина основания полуострова совпадает с серединой основания болотного треугольника. Новизна состоит в том, что относительные ширины А^ бухт и полуостровов больше не являются постоянными, но стремятся к нулю при увеличении к таким образом, что По°(1 — -^к) -> 0- При таком построении площадь болота не стремится к нулю и, следовательно, предельное болото имеет размерность £> = 2. С другой стороны, болото оказывается совершенно