1/3 + 2/32 + ... + 2к/Зк+1 + ... = 1.

Однако то, что множество С является абсолютно несвязным (и, следовательно, его топологическая размерность £>т = 0), не зависит от длин

212

Немасштабируемые фракталы о V

трем. Это свойство основано на том фундаментальном факте, что на каждом этапе построения каждый полученный на предыдущем этапе интервал рассекается удалением тремы, центр которой приходится на середину этого интервала. Обозначим отношение длин тремы и ее «несущего» интервала через А&, тогда выражение для совокупной длины интервалов, оставшихся после К этапов построения, принимает вид Г|^(1 — А&). Эта длина уменьшается при К —> сю до некоторого предела, который мы обозначим через Р. В оригинальной конструкции Кантора А& = 2/3, следовательно, Р = 0. Однако Р > 0 всегда, когда А^ < со. В этом случае остаточное множество С* имеет положительную длину 1 — Р. Это множество не самоподобно, следовательно, не характеризуется размерностью подобия, однако, исходя из определения Хаусдорфа-Безиковича (см. главу 5), мы можем заключить, что размерность Е такого множества равна 1. Из неравенства Е > Вт следует, что множество С* фрактально. Так как ни Е, ни Вт не зависят от длин трем Л^, значения этих размерностей дают весьма поверхностную характеристику множества С*.

Еще более явным выглядит построение на плоскости. Вырежем из единичного квадрата крест площади Ах, оставив четыре малых квадрата по углам. Затем вырежем из каждого малого квадрата крест относительной площади Аг. Этот каскад порождает пыль, топологическая размерность Вт которой равна 0, а площадь выражается произведением По°(1 — ^к)- Если площадь не обращается в нуль, £> = 2.

Аналогичным образом можно получить в _Б-мерном пространстве пыль положительного объема с размерностями Вт = 0 и В = Е.

ПЛАВАЮЩАЯ ВЕЛИЧИНА 1пЛГ/1п(1/г)

< Хотя канторовы пылевидные множества положительной меры, площади или объема не имеют размерности подобия, представляется полезным записать равенство Гк = (1 —А&)/2 ирассмотреть формальные размерности, определяемые как В к = 1пМ/\п(1/гк).

В своем медленном изменении размерность воплощает идею об эффективной размерности, рассмотренную в главе 3 при описании спутанной в шар нити. На прямой размерность Е = 1 предельного множества С* представляет собой предел отношения 1п2/1п(1/г/е). Более того, заключение £> = 1 не требует непременной справедливости неравенства ^ А^ < со, а удовлетворяется выполнением более слабого условия \к —> 0. Как следствие, мы имеем три класса линейных канто-ровых пылевидных множеств: а) с размерностью 0 < Е < 1 и нулевой длиной, б) с размерностью Е = 1 и нулевой длиной и, наконец, в) с размерностью Е = 1 и положительной длиной.