Салфетка. Положим теперь, что множество 5 — это салфетка Серпинского, построенная с помощью трем. Здесь Д уже не является одинаковым для всех точек Р. Позвольте мне, воспользовавшись рассуждениями Серпинского, показать, что во всех точках множества, за исключением вершин инициатора, значение Д может быть равным либо 3 (Кшт), Либо 4 (Дтах).

Значение Д = 4 относится к вершинам любого конечного приближения к 5 с помощью треугольников. Вершина для аппроксимации порядка Н > к является общей вершиной Р для двух треугольников с длиной стороны 2~к. Окружности с центром в точке Р и радиусом 2~к (при Н > к) пересекают множество Б в 4 точках и ограничивают произ-

200

Масштабно-инвариантные фракталы о IV

вольно малые окрестности точки Р. А если В ограничивает «достаточно малую» окрестность точки Р (при том, что вершины инициатора лежат вне В), то можно показать, что В пересекает 5, по меньшей мере, в 4 точках.

Значение Я = 3 характеризует любую точку множества 5, являющуюся пределом бесконечной последовательности треугольников, каждый из которых содержится внутри предшествующего ему треугольника и имеет вершины, отличные от вершин своего предшественника. Окружности, описанные вокруг этих треугольников, пересекают множество 5 в 3 точках, ограничивая при этом произвольно малые окрестности точки Р. В этом случае, если В ограничивает достаточно малую окрестность точки Р (вершины инициатора здесь также должны лежать вне В), то можно показать, что В пересекает 5, по меньшей мере, в 3 точках.

Ковры. Когда множество 5 является ковром Серпинского, мы получаем радикально иной результат. Пересечение границы любой достаточно малой окрестности и 5 представляет собой несчетно бесконечное множество точек, причем независимо от параметров г или £>.

Замечание. В этой дихотомии конечного/бесконечного салфетка немногим отличается от стандартных кривых, в то время как ковры неотличимы от плоскости.

Однородность. Единственность. Обозначив через Ят\п и Дтах наименьшее и наибольшее значения Я, достижимые в точке, принадлежащей множеству 5, Урысон доказывает, что Ятт ^ 2Ятт — 2. Ветвление называется однородным, если выполняется равенство Ятах = Ятт, так бывает, когда Я = 2, как в простых замкнутых кривых, или когда Я = со.