Исходя из тех же соображений, фрактальная пена представляет собой поверхность с размерностью От = 2.

Рассмотрим еще один вариант доказательства того, что для салфетки, всех ковров и всех губок с £> < 2 топологическая размерность Ют = = 1. Поскольку Ют есть целое число ^ £>, из неравенства £> < 2 следует, что Ют должна быть равна либо 0, либо 1. Но рассматриваемые множества являются связными, значит размерность От не может быть меньше 1. Единственное решение: От = 1-

СТЕПЕНЬ ВЕТВЛЕНИЯ КРИВОЙ

Топологическая размерность и соответствующие понятия пыли, кривой и поверхности дают нам лишь классификацию первого уровня.

14 о Ветвление и фрактальные решетки

199

В самом деле, два конечных множества, содержащих соответственно М' и М" точек, имеют одинаковую размерность От = 0, но различаются топологически. А канторова пыль отлична от любой конечной пыли.

Рассмотрим, как можно применить к кривым параллельное различие, основанное на количестве содержащихся в множестве точек (< его «мощности» ►), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике — любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

В понятие степени ветвления входит сечение множества, содержащее наименьшее количество точек, которые следует удалить для разъединения множества 5. Кроме того, оно включает в себя и окрестности всех точек Р, принадлежащих множеству 5.

Окружность. Для плавного перехода от стандартной геометрии к фрактальной начнем с того, что назовем множеством 5 окружность радиуса 1. Окружность В с центром в точке Р пересекает 5 в Я = 2 точках, за исключением тех случаев, когда радиус В больше 2 — при этом Д = 0. Диск, ограниченный окружностью В, называется окрестностью точки Р. Таким образом, любая точка Р лежит в какой-либо произвольно малой окрестности, граница которой пересекает 5 в К = = 2 точках. Вот, собственно, и все: если В является границей некоторой общей окрестности точки Р, не обязательно круглой, но «не слишком большой», то Д равно, по меньшей мере, 2. Слова «не слишком большой» в предыдущем предложении могут, несомненно, внести путаницу, однако избежать их, к сожалению, не представляется возможным. Величина Д = 2 называется степенью ветвления окружности. Заметим, что для всех точек окружности эта величина неизменна.