Чтобы исправить эту ситуацию, мы используем точки 1, 6 и 9 для того, чтобы изобразить лист целиком. Теперь нам нужны соответствующие точки для меньших частей. Это точки 13 18 на Рис. 2.4.1. Заметим, что некоторые из этих точек находятся во внутренней части листа, поэтому должно быть определено их точное расположение. Чтобы облегчить размещение точек, на Рис. 2.4.1 проведены светлые внутренние линии, которые показывают, в каких местах должны быть расположены уменьшенные копии листа. Далее снова повторяются пробы и ошибки определения точного размещения точек. Изображение-аттрактор, представленный на Рис. 2.3.1 (Ь), -это результат преобразований

{1,6,9}->{1,17,18}, {1,6,9}->{2,13,14}, {1Д9}->{3,15,16}, и {1,6,9}->{11,12,10}.

Рис. 2.4.2. Изображение-аттрактор IFS, построенное с помощью преобразован^

(1,2,3)^(1,4,5), (1,2,3)^(2,6,7), (1,2,3)^(3,8,9), (1,2,3)^(11,10,^ (номера относятся к точкам на Рис. 2.4.1). В ланном случае эти преоО' разования созлают нелостаточно качественное изображение-аттрактор листа. Сравните с Рис. 2.3.1 (Ь), который был построен с использов^' нием преобразований (1,6,9)->(1,17,18), {1,6,9}->{2,13, (1,6,91-^(3,15,16), и (1,6,9)->(11,12,10)

fg. Системы итерируемых функций

51

2.4.2. Коэффициенты аффинного преобразования

После того как мы определили точки и преобразования для IFS, следующим шагом будет вычисление коэффициентов аффинного преобразования (аффинных коэффициентов). Уравнение (2.3.1) дает выражение для аффинного преобразования с коэффициентами а> Ьу с, d, е и/. Определение действия этого преобразования на три набора точек 0с/9у,-) —» (х(уу() приводит к следующим уравнениям

где і = 1, 2, 3. Заметим, что (2.4.1) - это, фактически, две системы из трех уравнений. Одна система уравнений определяет неизвестные коэффициенты а, Ъ и е через хх,х2 их3, а другая

определяет с, d, и/через ух,у2 и у3. Решение каждой из этих систем трех уравнений сводится к обращению одной и той же матрицы 3 х 3:

Процедура в программе, прилагаемой к книге, обращает эту матрицу для нахождения коэффициентов аффинного преобразования.

2.4.3. Построение фрактального