Я отразил лишь общий смысл аргументов Пенроуза и его оппонен­тов. Читатель поймет, что, в сущности, я на стороне его оппонентов. Однако даже если признать, что геделианское доказательство Пенроуза не доказывает то, что намеревается доказать, и кажется невероятным, что предложенная им новая физическая теория объясняет то, что на­меревается объяснить, Пенроуз, тем не менее, прав, что любое миро­воззрение, основанное на существующей концепции научного рациона­лизма, создает задачу для принятых основ математики (или, как вы­разил бы это Пенроуз, наоборот). Это древняя задача, которую поднял Платон, задача, которая, как показывает Пенроуз, обостряется в све­те как теоремы Геделя, так и принципа Тьюринга. Эта задача заклю­чается в следующем: откуда исходит математическая определенность в реальности, состоящей из физики и понимаемой с помощью научных методов? В то время как большинство математиков и специалистов по вычислительной технике принимают определенность математической интуиции как нечто, само собой разумеющееся, они не воспринимают проблему примирения этого факта с научным мировоззрением всерь­ез. Пенроуз серьезно относится к этой проблеме и предлагает решение. Его предложение представляет постижимый мир в определенном аспек­те, отвергает сверхъестественное, признает важность творчества для математики, приписывает объективную реальность как физическому миру, так и абстрактным категориям и включает объединение основ математики и физики. Во всех этих отношениях я на его стороне.

Поскольку попытки Брауэра, Гильберта, Пенроуза и всех осталь­ных решить сложную задачу Платона, видимо, потерпели неудачу, стоит снова взглянуть на мнимое ниспровержение Платоном идеи о том, что математическую истину можно получить с помощью на­учных методов.

Прежде всего, Платон говорит нам, что, поскольку мы имеем до­ступ только (скажем) к несовершенным кругам, значит, через них мы не сможем получить знание о совершенных кругах. А почему нет? Точ­но так же можно было бы сказать, что мы не можем открыть законы движения планет, потому что у нас нет доступа к реальным планетам, а есть доступ только к их изображениям. (Инквизиция это и говори­ла, и я объяснил, почему она ошибалась). Также можно было бы ска­зать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Ог­лянувшись назад, можно увидеть, что такая критика вызвана очень грубым изображением принципа действия науки (подобным индукти­визму), который вряд ли можно считать удивительным, поскольку Пла­тон жил до того, что мы могли бы признать как науку. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом, из со­бранных данных, попытаться сделать какой-то вывод об их абстракт­ных евклидовых двойниках, то Платон уловил суть. Но если мы созда­дим гипотезу, что реальные круги точно определенным образом похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы определенно можем узнать что-либо об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Ев­клида часто используют рисунки для точного определения геометри­ческой задачи или ее решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит впечатление, вводящее в заблуждение, — например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происхо­дит. Но, поняв отношение между реальными и совершенными кругами, можно аккуратно исключить все подобные ошибки. А не понимая этого отношения, практически невозможно понять геометрию Евклида.