\С{РЪ Р2}| > \РгР2\21 \П{РЪ Р2}| > \РгР2\2.

Для других кривых Пеано разница между расстоянием Пеано и евклидовым расстоянием может быть как положительной, так и отрицательной.

Задача Какутани - Гомори. Какутани (источник — частная беседа) предлагает выбрать М точек Рт внутри единичного квадрата [О, I]2 и рассмотреть выражение тг ^ \РтРт+112> в котором инфимум вычисляется по всем линиям, соединяющим точки Рт последовательно. Он доказывает, что шг ^ 8, но полагает, что этот предел не является наилучшим. В самом деле, Р. Э. Гомори сообщает (источник — частная беседа), что он получил уточненный предел шг ^ 4. При доказательстве Гомори использует кривую Пеано-Чезаро следующим образом: (А) добавим к множеству точек Рт угловые точки квадрата, если они этому множеству еще не принадлежат; (В) расположим М точек Рт в порядке их первых посещений последовательностью из четырех кривых Пеано-Чезаро, построенных внутри квадрата вдоль его сторон; (С) убедимся, что удлинение цепочки на этапе (А) не повлекло за собой уменьшения ^ \РтРт+\\2; (Б) убедимся, что каждое слагаемое \РтРт+\\2 не уменьшается при замене его на |С (2т, 2т+ \)\; (Е) ^ |С (2т, 2т+ \)\ = = 4. При использовании других кривых Пеано этапы (В) и (Б) следует исключить.

Рис. 101 и 102. ПРОХОЖДЕНИЯ КВАДРАТА И ДРАКОНА

Генератор здесь тот же, что и для предыдущих кривых, однако незначительные, на первый взгляд, изменения в других правилах оказывают значительное влияние на результат.

Прохождение квадрата по Пеано, более поздний вариант.

Инициатор — отрезок [0, 1], а второй, четвертый и шестой этапы построения выглядят следующим образом:

Эффективность. Экстремальное свойство. Эта кривая заполняет область, площадь которой равна 1, тогда как кривые на рис. 98 и 99, а также кривая дракона, которую мы рассмотрим ниже, покрывают лишь 1/2 или 1/4. Если терагоны лежат на прямоугольной решетке,

покрываемая ими область не может превышать 1. Этого максимума она достигает лишь в случае терагонов без самопересечений. Иными словами, отсутствие самокасаний важно не только с эстетической точки зрения, а самокасающаяся кривая со срезанными точками самокасаний (как на рис. 95) не становится от этого эквивалентной кривой Коха без самопересечений.