странами. Наведенные Ричардсоном в различных энциклопедиях справки вскрыли значительные различия в определении длины общей границы картографами соответствующих стран: например, длина границы между Испанией и Португалией составляет 987 км с точки зрения испанцев и 1214 км с точки зрения португальцев; аналогичным образом пострадала и граница между Нидерландами и Бельгией (380 и 449 км). Так как угловой коэффициент соответствующих прямых равен —0, 25, двадцатипроцентная разница между результатами измерений означает двукратную разницу между принятыми для этих измерений значениями е — не такое уж невероятное предположение.

Ричардсон не дал никакой теоретической интерпретации различному наклону своих прямых. Мы же с вами намерены интерпретировать береговые линии как приближения к фрактальным кривым и рассматривать угловые коэффициенты соответствующих им прямых как приближенные значения разности 1 — Б, где £) — фрактальная размерность.

6 о СНЕЖИНКИ И ДРУГИЕ КРИВЫЕ КОХА

Для более полного понимания моей интерпретации ричардсонова И как фрактальной размерности перейдем от природных феноменов, над которыми мы не имеем никакой власти, к полностью подвластным нашей воле геометрическим конструкциям.

САМОПОДОБИЕ И КАСКАДЫ

До сих пор мы больше уделяли внимание геометрической сложности береговых линий; настало время упомянуть и о том, что их структура в значительной степени упорядочена.

Хотя выполненные в разных масштабах карты и различаются в конкретных деталях, более общие их особенности остаются неизменными. В грубом приближении крупные детали береговых линий геометрически идентичны мелким, разница только в масштабе.

Такую форму можно сравнить с узором, который рисует на небе какой-нибудь многоступенчатый фейерверк: на каждом этапе его сгорания в общую картину добавляются новые, все более мелкие детали, идентичные по форме результату исходного взрыва. Однако из упоминавшихся выше трудов Льюиса Ричардсона, посвященных турбулентности, мы можем позаимствовать более подходящее сравнение и назвать порождающий такие структуры механизм каскадом.

Если каждая из частей некоторой формы геометрически подобна целому, то и форма, и порождающий ее каскад называются самоподобными. В настоящей главе мы займемся исследованием самоподобия, используя для этого самые что ни на есть правильные фигуры.