54

Три классических фрактала — совершенно ручные о II

вычислений не даст нам никакой полезной информации: площадь любого замкнутого многоугольника окажется равной нулю, а длина его внутренней области будет бесконечной.

Рассмотрим с таких позиций полигональную (кусочно-линейную) аппроксимацию береговой линии, составленной из малых интервалов длины £. Возведя длину интервала в степень И и умножив ее на число интервалов, мы получим некую величину, которую можно предварительно назвать «аппроксимативной протяженностью в размерности Так как, согласно Ричардсону, число сторон равно N = Ре~°, то наша аппроксимативная протяженность принимает значение Ре0е^г' = Р.

Таким образом, теоретически аппроксимативная протяженность в размерности И не зависит от е. На практике же можно наблюдать лишь незначительное изменение этой аппроксимативной протяженности при изменении £.

Кроме того, получает простое подтверждение и обобщение тот факт, что длина внутренней области квадрата бесконечна: аппроксимативная протяженность береговой линии, определенная при любой размерности (I < И, стремится к бесконечности при е —> 0. Так же обстоит дело и с равенством нулю площади и объема прямой. При любом (I > И соответствующая аппроксимативная протяженность береговой линии стремится к нулю при е —> 0. То есть аппроксимативная протяженность береговой линии демонстрирует благоразумное поведение тогда и только тогда, когда (I = И.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КРИВОЙ МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ; ФРАКТАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Согласно замыслу своего создателя, хаусдорфова размерность сохраняет за собой обязанности обычной размерности и служит показателем степени при определении меры.

Однако с другой стороны, размерность И в высшей степени необычна, — она выражается дробным числом! Мало того, она больше единицы, которая представляет собой «естественную» размерность для кривых (можно строго доказать, что единице равна и их топологическая размерность -От)-

Я предлагаю называть кривые, фрактальная размерность которых превосходит их топологическую размерность 1, фрактальными кривыми. А в качестве краткого резюме для настоящей главы могу предложить следующее утверждение: в географических масштабах береговые линии можно моделировать с помощью фрактальных кривых. Береговые линии по своей структуре фракталъны. Ш