Математики, желая избежать «инфракрасной катастрофы», поме-

1

щают границу при значении В = 1, так как условие § /~в с1/ < сю

о

эквивалентно В < 1.

Однако поведение выборки масштабно-инвариантного шума при В = 1 изменяется весьма плавно. В сущности, гораздо более заметные изменения происходят при переходе от_Е>=0к_Е>>0 — настолько, надо сказать, заметные, что исследователи-практики склонны считать нестационарной любую выборку с В > 0. Стремясь быть последователь-

39 о Математическое приложение и дополнения

517

ными, они также заявляют, что для представления данных, которые выглядят, как выборка с В > 0, необходима исключительно нестационарная модель.

Я, в свою очередь, обнаружил, что вследствие исключения из рассмотрения значений В > 1 определение стационарности оказывается недостаточно общим для многих прецедентных исследований.

Условно стационарные спорадические процессы. Например, теория фрактальных шумов (см. главу 9) позволяет предположить, что процесс, состоящий из броуновских нулей стационарен в ослабленной форме. В самом деле, предположим, что где-то в промежутке между £ = = 0 и £ = Т имеется хотя бы один нуль. Результатом такого предположения будет случайный процесс, зависящий от Т как от дополнительного внешнего параметра. Я отмечал, что совместное распределение значений X (т + £то) не зависит от £ при условии, что все моменты времени т + £то находятся между 0 и Т. Таким образом, нестационарный процесс броуновских нулей неявно включает в себя целый класс случайных процессов, каждый из которых условно стационарен, чего часто бывает вполне достаточно.

Процессы этого класса так тесно взаимосвязаны, что в [352] я даже предложил рассматривать их как один обобщенный стохастический процесс, называемый спорадическим процессом. Отличие такого процесса от стандартного случайного процесса заключается в том, что мера р (П) всего выборочного пространства О. бесконечна. То есть эту меру никак нельзя нормализовать к виду р (П) = 1.0 бесконечной мере р (О.) для случайных переменных писал еще Реньи [489]. Для того чтобы мера р (О.) = со не привела к катастрофе, в теории обобщенных случайных величин делается допущение о том, что эти величины наблюдаются только будучи обусловленными некоторым событием С, таким, что 0 < р (С) < со.