Известно много способов оценить длину береговой линии более точно, и в этой главе мы проанализируем некоторые из них. В конце концов мы придем к очень примечательному выводу: длина береговой линии — понятие весьма скользкое, и голыми руками его не ухватишь. Какой бы метод измерения мы ни применяли, результат всегда одинаков: длина типичного побережья очень велика и настолько нечетко определена, что удобнее всего считать ее бесконечной. Следовательно, если кому-нибудь вздумается сравнить различные берега с точки зрения их протяженности, ему придется подыскать что-нибудь взамен понятия длины, которое к данному случаю неприменимо.

В этой главе мы как раз и займемся поисками подходящей замены, причем в процессе поисков нам не избежать знакомства с различными формами фрактальных концепций размерности, меры и кривой.

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Метод А. Установим раствор измерительного циркуля на некоторую заданную длину е, которую назовем длиной шага, и пройдемся

5 о Какова протяженность побережья Британии?

47

этим циркулем вдоль интересующей нас береговой линии, начиная каждый новый шаг в той точке, где закончился предыдущий. Количество шагов, умноженное на длину е, даст нам приблизительную длину берега Ь (е). Со школьной скамьи нам известно, что если повторять эту операцию, каждый раз уменьшая раствор циркуля, то можно ожидать, что величина Ь (е) быстро устремится к некоторому вполне определенному значению, называемому истинной длиной. Однако то, что происходит на деле, никак не соответствует нашим ожиданиям. В типичном случае наблюдаемая длина Ь (е) склонна увеличиваться неограниченно.

Причина такого ее поведения очевидна: если рассмотреть какой-нибудь полуостров или бухту на картах масштаба 1/100 000 и 1/10 000, то на последней карте мы ясно различим более мелкие полуострова и бухты, которых не было видно на первой. Карта того же участка, выполненная в масштабе 1/1 000, покажет нам еще более мелкие полуостровки и бухточки, и так далее. Каждая новая деталь увеличивает общую длину берега.

Вышеописанная процедура подразумевает, что линия берега имеет слишком неправильную форму, и поэтому ее длина не может быть непосредственно представлена в виде суммы длин простых геометрических кривых, значения длин которых можно найти в справочниках. То есть, Метод А заменяет береговую линию на последовательность ломаных линий, составленных из прямолинейных участков, длину которых мы определять умеем.