< Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству

в евклидовом пространстве — каким бы «патологическим» оно ни выглядело — некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Эта размерность описана в соответствующем разделе главы 41. Обозначим ее через Ет- Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в [203] и приведено в окончательный вид Безиковичем. Ее описание можно найти в главе 39, а обозначать ее мы будем через Е.

< В евклидовом пространстве К.^ величины размерностей Ет и Е заключены в промежутке от 0 до Е. Однако на этом их сходство заканчивается. Размерность Ет всегда является целым числом, в то время как для размерности Е это вовсе не обязательно. Эти две размерности не обязательно должны совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна (см. [231], глава 4)

Е ^ ЕТ-

В случае евклидовых множеств Е = Ет- Однако почти для всех множеств в этой книге Е > Ет- Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:

< Фракталом называется множество, размерность Хаусдор-фа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.

32

Введение о I

< Любое множество с нецелым значением В является фракталом. Например, исходное канторово множество представляет собой фрактал, поскольку, как мы увидим в главе 8, его размерность

В = 1п2/1пЗ и 0,6309 > 0, при£>т=0.

Канторово множество в пространстве можно обобщить так, чтобы Вт = 0, а В принимала бы любые желаемые значения в промежутке от 0 до -Б (включительно).

< Фракталом является и исходная кривая Коха, поскольку, как будет показано в главе 6, ее размерность

В = 1п4/ 1пЗ « 1,2618 > 1, при£>т = 1.