средней скорости частицы изменяются самым безумным образом. Рисунок дает лишь слабое представление об изумительной запутанности реальной траектории. Если бы положения частицы регистрировались в 100 раз чаще, то вместо каждого отрезка прямой мы получили бы ломаную, столь же сложную как и исходный рисунок, хотя и меньших размеров — и так далее. Нетрудно убедиться, что на практике понятие касательной в применении к таким кривым является полной бессмыслицей».

Автор настоящего эссе разделяет мнение Перрена, однако рассматривает неправильность под несколько иным углом. Мы подчеркиваем тот факт, что при последовательном увеличении разрешения микроскопа, длина траектории наблюдаемого броуновского движения возрастает до бесконечности (см. главу 25).

Кроме того, след, оставляемый броуновской частицей, в конце концов почти заполняет всю плоскость. Разве не напрашивается вывод, что в каком-то смысле (смысл этот нам еще предстоит отыскать) размерность этой необычной кривой должна совпадать с размерностью плоскости? Самое интересное — так оно и есть. Одна из главных задач этой книги заключается в том, чтобы показать, как расплывчатое понятие размерности расщепляется на несколько вполне определенных составляющих. Топологически след движения броуновской частицы является кривой (размерность 1). Однако так как он способен заполнить практически всю плоскость, то во фрактальном смысле его размерность равна 2. Расхождение между этими двумя величинами дает броуновскому движению право называться, согласно вводимой ниже терминологии, фракталом.

3 о РАЗМЕРНОСТЬ, СИММЕТРИЯ, РАСХОДИМОСТЬ

Центральную роль в этой книге играют древние понятия размерности (т. е. количества пространственных измерений или степени многомерности) и симметрии. Кроме того, позже мы неоднократно столкнемся с различными симптомами расходимости.

ИДЕЯ РАЗМЕРНОСТИ

Во время кризиса 1875-1925 гг. математики осознали, что невозможно достичь истинного понимания неправильности и фрагментации (равно как правильности и связности), по-прежнему определяя размерность как число пространственных координат. Первый шаг в направлении строгого анализа был сделан Кантором в его письме к Дедекинду от 20 июня 1877 г., следующий — Пеано в 1890 г., а к середине 20-х гг. XX в. процесс благополучно завершился.