216

Немасштабируемые фракталы о V

[Однако если] мы привыкнем иметь дело с подобными логическими построениями, если они проникнут в школьную программу, если мы будем узнавать о них, так сказать, с младых ногтей, так же, как мы узнаем сейчас о трехмерной евклидовой геометрии — тогда, очевидно, никому и в голову не придет сказать, что такие геометрические построения противны здравому смыслу».

Настоящее эссе служит наглядной демонстрацией того, что Хан опять оказывается глубоко неправ. Для того, чтобы справиться с теми неприятностями, о которых он говорит, необходимо, на мой взгляд, научить тот здравый смысл, который есть у нас сейчас, воспринимать новое — нет необходимости отбрасывать «старый» здравый смысл и пытаться воспитать «новый». Хан ставит ошибочный диагноз и прописывает лекарство, которое загонит пациента в гроб.

Здравый смысл в геометрии никогда не отрицал того, что он нуждается в помощи логики, невзирая на ее странные и запутанные методы. С чего бы логике опять пытаться от него ускользнуть?

Словом, ни в коем случае нельзя полагаться на то, что типичный математик считает совместимым со здравым смыслом; никак невозможно позволять какому бы то ни было здравому смыслу руководить нами при построении той или иной модели; и вообще, математика слишком важна, чтобы можно было отдать ее на откуп фанатикам от логики.

16 о ДЕРЕВЬЯ. СКЕЙЛИНГОВЫЕ ОСТАТКИ. НЕОДНОРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ

В настоящей главе обсуждаются нитевидные фрактальные деревья и другие почти масштабно-инвариантные фракталы, т. е. масштабно-инвариантные за исключением пренебрежимо малого во фрактальном смысле остатка. Эти фракталы оказываются неоднородными в том смысле, что для разных частей таких множеств размерности £> и/или/ £>т принимают различные значения. Оглядываясь же назад, мы видим, что все рассмотренные до сих пор фракталы можно охарактеризовать как однородные.

ПОНЯТИЕ О МНОЖЕСТВЕ СКЕЙЛИНГОВЫХ ОСТАТКОВ

Стандартные интервалы. Полуоткрытый интервал ]0, 1], включающий в себя правую концевую точку и не включающий левую, является масштабно-инвариантным, так как он состоит из N = 2 уменьшенных копий себя ]0, 1/2] и ]1/2, 1]. А вот открытый интервал ]0, 1[ нельзя считать масштабно-инвариантным, так как кроме N = 2 своих копий меньшего масштаба ]0, 1/2[ и ]1/2, 1[ он включает в себя и среднюю точку х = 1/2. Я предлагаю назвать эту среднюю точку скейлинговым (или масштабным) остатком. При вычислении £> — и во многих других случаях — ею можно пренебречь. Физик сказал бы, что она характеризуется меньшим физическим порядком величины, чем целое и части.