Термин применим и к фрактальным пенам — их можно считать разветвленными фрактальными решетками.

ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СЕЧЕНИЙ

Основное правило. Во многих случаях при изучении фракталов важно знать размерности линейных и плоских сечений. Основное

14 о Ветвление и фрактальные решетки

197

наблюдение здесь (мы воспользовались им в главе 10 для того, чтобы показать, что размерность турбулентности И > 2) касается сечения плоской фрактальной фигуры интервалом, «независимым от фрактала». Оказывается, если сечение непусто, то его размерность «почти наверняка» составляет величину £) — 1.

Соответствующее значение для пространственного случая I? — 2.

Исключения. К сожалению, этот результат весьма сложно проиллюстрировать, имея дело с неслучайными фракталами, обладающими осями симметрии. Интервалы, на которые мы первым делом обращаем внимание, параллельны этим осям и, как следствие, нетипичны, а почти любое простое сечение каким-либо другим интервалом принадлежит исключительному множеству, к которому общее правило не применимо.

Возьмем, например, ковер Серпинского, троичную губку Менгера и троичную пену. Значение И — 1, которое почти наверняка должно оказаться размерностью сечения плоской фигуры отрезком, будет, соответственно, равно:

1п(8/3)/1пЗ, 1п(20/9)/1пЗ и 1п(26/9)/1пЗ.

Обозначим через х абсциссу интервала, параллельного оси у ковра Серпинского. Если число х, записанное в троичной системе счисления, оканчивается на бесконечную последовательность нулей и двоек, то сечения сами представляют собой интервалы, а значит I? = 1 — больше, чем мы ожидали. Если же х оканчивается на бесконечную последовательность единиц, то сечения являются пылевидными канторовыми множествами с размерностью £> = 1п2/1пЗ, которая слишком мала. А если х оканчивается периодической последовательностью периода М, включающей в себя рМ единиц и (1 — р)М нулей или двоек, то размерность сечений имеет вид И = р(1п2/1пЗ) + (1 — р). Ожидаемое значение И получается лишь при р ~ 0, 29. < То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа х. ► Таким образом, мы получаем три различных размерности — наибольшую, наименьшую и среднюю.