ТРОИЧНЫЙ КОВЕР СЕРПИНСКОГО

Перейдем от треугольных решеток к прямоугольным. Они демонстрируют большое разнообразие возможных конструкций — кривых на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве. Что касается кривых, то они, несмотря на внешнее сходство с салфеткой Серпинского, весьма отличны от нее с фундаментальной точки зрения на ветвление, к которой мы еще вернемся после определения этих кривых.

194

Масштабно-инвариантные фракталы о IV

Буквальное распространение на плоскость канторова метода удаления средних третей описано в пояснении к рис. 205; инициатором такого построения служит квадрат. Фрактал, получаемый бесконечным повторением этого процесса, широко известен под непритязательным названием троичного ковра Серпинского. Его размерность £> = 1п8/1пЗ = = 1,8927.

НЕТРОИЧНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ КОВРЫ

Для построения «ковра с большим медальоном в центре» запишем, как обычно, г = 1/6, где 6 — целое число, большее 3; в качестве инициатора возьмем квадрат, в качестве тремы — квадрат со стороной 1 — — 2г с центром в той же точке, а в качестве генератора — узкое кольцо из 4(6 — 1) квадратов со стороной г. Размерность такого ковра имеет вид I? = 1п[4(6 — 1)]/1п6. Если взять нечетное целое 6 > 3, в качестве тремы — один подквадрат со стороной г и с центром в той же точке, что и центр инициатора, а в качестве генератора — широкое кольцо из (б3 — 1) малых квадратов, то получится «ковер с малым медальоном в центре». Размерность такого ковра имеет вид £> = 1п(63 — 1)/1п6. Таким образом, в центрированных коврах можно получить сколь угодно близкое приближение к любому значению И в интервале от 1 до 2.

Нецентрированные ковры определяются при 6 < 2. Например, при 6 = 2 и N = 3 можно разместить трему, состоящую из одного подквадрата, в правом верхнем подквадрате. Соответствующее предельное множество оказывается салфеткой Серпинского, построенной из треугольника, образующего левую нижнюю половину квадрата.

ТРОИЧНАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ПЕНА

Буквальное распространение троичного ковра на пространство начинается с удаления из куба в качестве тремы среднего подкуба (27-й части объема исходного куба), после чего остается «оболочка» из 26 под-кубов. Получаемый посредством такой процедуры фрактал я предлагаю назвать троичной фрактальной пеной. Ее размерность И = 1п 26/ 1п 3 = = 2,9656.