Теорема о сжимающих отображениях: Пусть /:Х —> X ежи-мающее отображение на полном метрическом пространстве (Х,сГ). Тогда / имеет одну и только одну неподвижную точку х/ є X, и для любого х є X последовательность {/0 п(х): п- 1,2,...} сходится кх/.

Теорема о сжимающих отображениях является краеугольным камнем классического функционального анализа. Многие доказательства существования используют приведенный метод, чтобы показать, что какое-то отображение является сжимающим, и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку. Эта теорема лежит в основе всех подходов к фрактальному сжатию изображений.

44 Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действ^

2.3. Системы итерируемых функций

Мы уже говорили о том, что будем рассматривать фрактал^ ные изображения как точки в пространстве Хаусдорфа (Я(Х), /г). В этом разделе мы определим специальный вцд сжимающих отображений, которые воздействуют на изобра. жения, то есть на точки в (#(Х), /г).

2.3.1. Введение

Пусть {wi,W2,...,wN} - конечный набор сжимающих отобра. жений в (X,d) с коэффициентами сжатия su $2, 0<sn<l. Определим отображение W, воздействующее на компактные множества точек из X (то есть, в пространстве Я(Х)), следующим образом:

W(B) = w, (в)и w2(B)u...uwN (В) = [J wn (В)

/1=1

для каждого В е Н(Х) (т.е. В с X).

Таким образом, W отображает Я(Х) в #(Х) и является сжимающим отображением на (Я(Х), h) с коэффициентом сжатия 5, где s = max {s\, s2, s^}.

h(W(B),W(Q) < s h(B,Q для 5, С e H(X)

Система итерируемых функций (IFS) состоит из полного метрического пространства (X,d) и конечного множества сжимающих отображений wn: X —» X с коэффициентами сжатия sn> Коэффициент сжатия IFS определяется как s = max {sb 52, Sn}- Введем обозначение для IFS: {X, wn: п = 1, 2, /V}. Если используемое пространство точек является очевидным, например, R2 в случае изображений, мы будем сокращать обозначение до {wn}.

Есть ряд деталей, о которых мы не упоминали здесь, включая тот факт, что W(B) фактически является точкой пространства Я(Х), когда В е Н(Х) (то есть, что W(B) компактно, когда компактно В). Те, кто заинтересовался этим, могут найти более подробное изложение в [3].